4.4  INN- OG UTKOPLING AV EN KONDENSATOR

Ved opp- og utladning av kondensatorer varierer strøm og spenning.  Det er vanlig å bruke små bokstaver for å angi øyeblikksverdier av størrelser.

INNKOPLING AV EN KONDENSATOR - OPPLADNING

Figur  4.4.1

Når bryteren står i stilling "1" blir kondensatoren oppladet fra spenningskilden.  Spenningen over kondensatoren øker slik neste kurve viser - figur 4.4.2.  Spenningen over resistansen minker når spenningen over kondensatoren øker.

OPPLADNING

Kirchhoffs 2. lov opprettholder balansen for kretsen dvs at påtrykt spenning er lik summen delspenningene over kondensatoren og resistansen.  Delspenningene vil variere med oppladningen.  Strømmen i kretsen blir bestemt av resistansen som er koplet i serie med kondensatoren.

                                                                          4.4.1

Matematikk:

For å finne arealet av en kurve eller deler av en kurve må en benytte integralregning.  Integralregning bygger på derivasjon som beregner avstanden til en akse.

Foran starten av en integrasjon står det et integraltegn  ò .  Integraltegnet har sin begrensning langs x - aksen med start angitt under integraltegnet og slutt over integraltegnet.  Det matematiske uttrykket som skal integreres avsluttes den deriverte til den ukjente.

Eksempel på et integral kan være:

Dette integralet finner arealet av en kurve mellom 0 og p.

Konstante størrelser kan trekkes utenfor integrasjonen.

Figur  4.4.2

Under oppladning følger strømkurven kurven for spenningen over resistansen.  Det er resistansen i kretsen som bestemmer strømmen.

Strøm og kondensatorspenningen uttrykt ved hjelp av kondensatorens ladning i et øyeblikk under oppladningen:

                                              og                   

(d`en står for den deriverte av f.eks ladningen.  Den deriverte er en meget tynn søyle til kurve for ladningen)

Formel  2.2.1  kombineres med formel  4.4.1:

                                             4.4.1.A

Siste ledd i formelen over består av:

                                         og                   

Ved å rydde opp i formelen  4.4.1.A:

                                                               4.4.1.B

Denne likningen må integreres for å finne kondensatorspenningen i tidsrommet 0 til t.

                                                    4.4.1.C

Dette integralet løses ved hjelp av integrasjonsregler:

                                                               4.4.1.D

                                                                4.4.1.E

dette gir spenningen over kondensatoren ved oppladning:

                                                              4.4.2

For å finne strømmen i kretsen ved oppladning kombinerer vi formlene  4.4.2  og  4.1.2:

                                                 4.4.2.A

Ved å erstatte

                             med    

finnes strømmen i kretsen ved oppladning:

                                                                    4.4.3

Strømmen  I  bestemmes av resistansen og spenningen til spenningskilden.

Tidskonstanten t er basert på forholdet RC.  Dette kommer fra av formelen 4.4.1.C:

                                                                               4.4.4

Når tiden  t=t har ladningen en spenning på 63,2 %.

UTLADNING 

Når bryteren i figur  4.4.1  blir ført over i stilling 2 vil spenningskilden bli koplet ut og kondensatoren overta som ²spenningskilde².  Kondensatoren vil lade seg ut over resistansen.

                                                         4.4.5

Figur  4.4.3

Under utladning følger strømkurven kurven for spenningen over resistansen.  Det er resistansen i kretsen som bestemmer strømmen.

For å finne spenningen over kondensatoren ved utladning må det tas utgangspunkt i spenningsforholdene:

Ladningen endrer seg fra maksimal ladning Q til øyeblikksverdien til ladningen q ved utladning. Dette gir integralet:

Regler for å løse opp integraler er benyttet i løsningen samt logaritmiske regler:

RC - tiden er det samme som tidskonstanten  t:

Kondensatorspenningen kan uttrykkes på følgende form:

Spenningen over kondensatoren ved utladning:

                                                                    4.4.6

Utledning for å finne strømmen i kretsen ved utladning:

Strømmen i kretsen ved utladning:

                                                                        4.4.7

Strømmen  I  bestemmes av resistansen og spenningen til kondensatoren når den er maksimalt oppladet..

            u_c      øyeblikksverdi av spenningen   (V)

            i_c       øyeblikksverdi av strømmen over kondensatoren (A)

            e       grunntallet i den naturlige logaritmen   (2,718)

            I        maksimal strøm i kretsen   (A)

            U       spenningskildens spenning   (V)

            t       tidskonstant   (s)

            t         tiden   (s)

FORHOLD t  OG U_C VED OPP- OG UTLADNING AV KONDENSATOR

Figur  4.4.4

Spenningen over resistansen  u_r  og strømmen i kretsen  i_c  følger samme prosentvise kurve under opp -og utladning.

Når spenningen over kondensatoren har nådd 100 % er den lik påtrykt spenning fra spenningskilden.  Kondensatoren er da oppladet.

Tidskonstanten  t  er lik verdien av resistansen  R  ganger verdien av kapasitansen  C.  Det regnes vanligvis  5t  før en kondensator er oppladet eller utladet.  Tabell 4.4.1  viser sammen med figur 4.4.4 hvor fort en kondensator lades opp -og ut i prosent.

                                   OPPLADNING                                  UTLADNING

EKSEMPEL  4.4.1

En kondensator og en resistans er seriekoplet.  Resistansen er på 100 W og kondensatoren er på 2,0 mF.  Kretsen blir tilført 240 V likespenning for å lade opp kondensatoren.

a)         Finn tidskonstanten til kretsen.

b)         Beregn spenningen over kondensatoren 0,3 sekund etter at spenningskilden blir           tilkoplet kretsen ved oppladning av kondensatoren fra nøytral ladet kondensator.

c)         Finn strømmen 0,4 sekund etter at spenningskilden blir tilkoplet kretsen ved    oppladning av kondensatoren fra nøytral ladet kondensator.

d)         Finn spenningen over kondensatoren 0,5 sekunder etter at kondensatoren fra full         oppladet stilling har begynt å lade seg ut over resistansen.

e)         Hva blir spenningen over resistansen etter 0,5 sekunder ved utladning?

f)          Beregn strømmen 0,1 sekunder etter utladningen har begynt ved full oppladet kondensator?

g)         Hvor mange sekunder tar det før spenningen over kondensatoren er på 200 V ved      oppladning?

Løsning:

a)         Tidskonstanten:

b)         Spenningen over kondensatoren etter 0,3 s ved oppladning:

c)         Maksimal strøm i kretsen (i det øyeblikk oppladningen begynner):

            Strømmen i kretsen etter 0,4 s ved oppladning:

d)         Spenningen over kondensatoren etter 0,5 s ved utladning:

e)         Spenningen over resistansen etter 0,5 s ved utladning:

f)          Strømmen i kretsen etter 0,1 s ved utladning:

g)         Tiden det tar før spenningen over kondensatoren er 200 V ved oppladning:

                         (benytter 3. logaritme regel)