www.elsiden.no

4.5  KREFTER I ET ELEKTRISK FELT

ELEKTRISK FELT - COLOMBS LOV

Den franske fysikeren Charles de Columb er opphavet til Colombs lov. 

Kraften mellom to punktladninger er proporsjonal med produktet av kulenes ladninger, og omvendt proporsjonal med kvadratet av avstanden mellom punktladningene.

Figur  4.5.1

Colomb benyttet en Torosjonsvekt for å komme fram til Colombs lov. 

Når det brukes Torosjonsvekt for å bevise Colombs lov må det plasseres to kuler som representerer punktladningene.  Den ene kula monteres fast inne i Torosjonsvekta.  Den andre kula henges fritt opp i f.eks en tråd inne i vekta.  Det er vakuum inne i Torosjonsvekta.

Hvis en tenker seg figur  4.5.1  som en Torosjonsvekt representerer kula  Q₁ ladningen Q₁ som er fast montert og kula  Q₂ representerer ladningen Q₂ og er fritt opphengt.  Det kan da gjøres følgende forsøk:

1.  Kula Q₁ har en fast positiv ladning mens kula Q₂ ikke har noen ladning. 

Kulene berører hverandre og kula Q₁  gir fra seg halvparten av  ladningen sin til kula    Q₂.  Ladningen til kulene blir lik og kula Q₂ beveger seg vekk fra kula Q_1,  fordi kulene får lik ladning og fordi tyngdekraften overtar kraften til den fritt opphengte  kula Q₂.

2.  Hvis ladningen økes eller minskes vil resultat bli det samme.

I Colombs matematiske uttrykk vil den ene kula  Q₁  representere areal av en teoretisk vakuumkule rundt kula Q₁  hvor kula Q₂  tangerer i avstanden s et sted på vakuumarealet til kule Q₁.  Avstanden s til vakuumkula tilsvarer radiusen r i kula.

Areal av en kule (arealet av vakuum kula):

Konstanten for to punktladninger (kuler) i vakuum når avstanden mellom kulene er fast:

Den gjensidige kraften mellom punktladningene uttrykt arealet vakuumet som en konstant:

Colombs lov uttrykt matematisk for vakuum:

Colombs lov uttrykt matematisk generelt:

                                                                   4.5.1

            F          gjensidig kraft mellom to punktladninger   (N)

            Q₁        ladningen i punkt 1   (C)

            Q₂        ladningen i punkt 2   (C)

            e          permittiviteten   (F/m)

            s          avstanden mellom punktladningene   (m)

EKSEMPEL  4.5.1

To ladninger i vakuum har en ladning hver på 1,5^.10^-9C.  Avstanden mellom punktladningene er 0,5 mm og ladningene er plasser i vakuum.  Hvilken kraft virker på de to punktladningene?

Løsning:

ARBEID OG POTENSIAL VED FORFLYTNING AV EN PUNKTLADNING

Ladninger i et elektrisk felt mellom to kondensatorplater vil alltid være i bevegelse i forhold til hverandre.  Når en ladning beveger seg mellom to punkter på ladningens bane vil den utføre et arbeid.  Samtidig vil hele tiden ladningens potensial forandre seg mens ladningen er under bevegelse.

Figur  4.5.2

Figur  4.5.2  viser en punktladning Q₁ som beveger seg i forhold til en annen punktladning Q₂.  I det punktet hvor kraften undersøkes trekkes da som en tangent til ladningens bane.

Den kraften som utøves på punktladningen når punktladningen Q₂ beveger seg den svært lille strekningen da:

For å finne arbeide mellom punktene P₁ og P₂ må en integrere den svært korte strekningen som er analysert i likningen over:

Arbeidet som utføres i punkt 1 når ladningen  Q₂ er i bevegelse mot punkt 2:

                                                                              4.5.2

Dette forutsetter at avstanden s₂ er uendelig mye lengre enn avstanden s₁.  Avstandene er mellom Q₁ og Q₂.

            W₁       arbeide i punkt 1          (J)

Potensialet i punkt V₁ er den energi pr ladning i punktet i avstanden s₁ fra Q₁:

                                                                               4.5.3

Potensialet i punkt V₂ er den energi pr ladning i punktet i avstanden s₂ fra Q₁:

                                                                               4.5.4

            V₁        potensialet i punkt 1     (V)

            V₂        potensialet i punkt 2     (V)

            e₀         brukes når ladningen beveger seg i vakuum eller luft

 
EKSEMPEL  4.5.2

To elektroner med ladning  1,6^.10^-19C  befinner seg i et elektrisk felt.  Avstanden mellom punktladningene er 0,5 mm ved punkt 1 og elektronene er plasser i vakuum. 

a)  Hvilket arbeid utfører punktladningen i punkt 1?

b)  Finn potensialene i punkt 1 og 2 i forhold til ladningen Q₁.  Når avstanden mellom Q₁ og punkt 2 er 5 mm.

Løsning:

a)         Arbeidet i punkt 1:

b)         Potensial i punkt 1 i forhold til ladningen Q₁.

            Potensial i punkt 2 i forhold til ladningen Q₁.

ELEKTRISK FELTENERGI

Figur  4.5.3

Under oppladning tar en kondensator i mot energi.  Kondensatorplatene vil da få forskjellig potensial og de vil tiltrekke hverandre.  Denne tiltrekningskraften er lik den kraften som virker for å holde platene stille slik at de ikke berører hverandre og kortslutter kondensatoren.

Når kondensatoren blir ladet opp kan vi se på det arbeide som foregår i et lite tidsintervall  Dt.

Gjør vi tidsintervallet mindre kaller vi det i matematikken for derivasjon.  Samme formel som over, men uttrykt via derivasjon:

For å finne den energien som lagres i kondensatoren må vi finne arealet (energien) under oppladning navet på denne energi kalles elektrisk feltenergi.  Dette kan løses ved integrasjon av formelen over fra tidsrommet kondensatoren var nøytralt oppladet 0 til maksimal ladning Q (stor bokstav for symbol ved maksimal ladning).

Dette gir oss formlene for elektrisk feltenergi:

                                                                                    4.5.5

(Denne formelen kan vi lese direkte ut fra diagram 4.5.3 uten å gå via integralet over).

og formelen

                                                                                   4.5.6

            W        Feltenergien til kondensatorplatene   (J)

KRAFTEN MELLOM KONDENSATORPLATER

Figur  4.5.4

Kraften som virker på platene kan finnes ved hjelp den elektriske feltenergien til platene og den mekaniske energien som holder platene fra hverandre.  disse kreftene er lik og kan settes opp på formene I og II.

Hvis det den ene kondensatorplaten flyttes en liten avstand  Ds fra den andre platen holdes feltstyrken  E  konstant fordi den lille forandring i avstanden mellom platene er svært liten i forhold til avstanden mellom platene.

Uttrykk for mekanisk arbeid når platene flyttes  Ds  fra hverandre:

            I          

Uttrykk for en liten endring av feltenergien ved kombinasjon av formlene::       

                                      og                   

            II        

Setter likning I og II opp mot hverandre:

Kraften mellom to ladde plater:

                                                                                     4.5.7

            F          kraften mellom to kondensatorplater   (N)

            Q         ladningen   (C)

            E          feltstyrken   (V/m)