Induksjon oppstår når f.eks en spole beveger seg i forhold til en permanentmagnet. Det blir da indusert spenning og strøm.
Figur 5.2.1 viser at en indusert spenning med sin retning alltid er motsatt rettet i forhold til bevegelsesretningen til permanentmagneten som er årsaken til induksjonen.
Det var en fysiker med navn Lenz som oppdaget dette forhold.
Lenz` lov lyder:
Den induserte strøm og spenning er alltid motsatt rettet i en spole i forhold til en permanentmagnets bevegelsesretning.
Figur 5.2.1
Når en permanenetmagnet føres gjennom en spole oppstår det en fluksendring. Spolen vil få samme polaritet som permanentmagneten fordi spolen i utgangspunktet var nøytral. I følge Lenz` lov vil den induserte strøm og spenning bli motsatt rettet i forhold til bevegelsesretningen.
Den induserte strømmen kan vi finne ved hjelp av korketrekkerregelen som sier: når en skrur en korketrekker innover i strømmens retning, markeres feltlinjene den veien vi vrir korketrekkeren. Det kan også benyttes høyrehåndsregelen for å finne den induserte støms retning.
Den induserte strøm og spenning vil variere med tiden permanentmagneten beveger seg i spolen. Se inn -og utkopling lengre bak i dette kapittel (kapitel 5.2).
I kapittel spenningsstøt for en vinding (kapittel 5.1) er formel 5.1.2 vist:
5.1.2
Ved å flytte Emid alene på venstre side av likhetstegnet får vi formelen på denne formen:
5.1.2
Hvis figur 5.2.1 er en krets hvor en skal finne midlere indusert spenning må det oppstå en fluksendring når permanentmagneten føres gjennom spolen. Dette kan uttrykkes med eksempelet under.
Fluksendring:
F fluksendring som fører til indusert spenning (Wb)
F1 fluksen før permanentmagneten føres gjennom spolen (Wb)
F2 fluksen etter at spolen har blitt ført gjennom spolen og før den forandrer retning (Wb)
Dette gir F2 > F1 som gjør fluksendringen F positiv.
Fluksendring og bevegelsesendring er lik, men Lenz lov sier at den induserte spenningen må være negativ i forhold til fluksendringen. Dette gir:
ved å multiplisere med minus 1 på begge sider i likningen får vi:
5.2.1
E midlere kildespenning (V)
N antall vindinger
F magnetisk fluks (Wb)
t tiden fluksendringen varer (s)
Faradays induksjonslov:
Når en spenning blir tilført en spole vil det alltid oppstå en fluksendring med motsatt polaritet.
Forholdet fluksendring og indusert spenning vises med hver sine kurver i et diagram, slik som figur 5.2.2 viser:
Figur 5.2.2
Den midlere induserte spenningen Emid kan settes linjær så lenge det er en middel spenning. Det bli bare indusert spenning hvis det samtidig er en fluksendring. Fluksendring har vi når en permanentmagnet beveges gjennom en spole. Når permanentmagneten er i ro er det ingen fluksendring og heller ingen indusert spenning.
Eksempel 5.2.1
En spole har 500 vindinger. Beregn den induserte spenningen og tegn kurve for indusert spenning inn i diagrammet.
Løsning:
Figur 5.2.3
Vindingen med lengden l beveger seg 90o på feltlinjene og med en hastighet vmid i et homogent felt. I løpet av tiden t tilbakelegger vindingen en strekning s. Gjennomsnittshastigheten til vindingen blir da:
Fluksendringen i vindingen er arealet vindingen har tilbakelagt når den har beveget seg i det homogene feltet multiplisert med flukstettheten. Dette er fra tidligere kjent gjennom formel 5.1.7:
5.1.7
Vi kan sette inn for arealet:
Setter vi hastigheten vindingen beveger seg med i stede for strekningen får vi formelen:
Faradays lov sier:
Da det er bare en vinding som beveger seg i det homogene feltet blir kombinasjon av formelene:
For en vinding som beveger seg i feltet kan vi nå stryke tiden på begge sider av likhetstegnet og vi får da uttrykket:
5.2.2
E midlere kildespenning (V)
B flukstetthet (T)
l lengde av leder som krysser feltlinjene ved bevegelse (m)
vmid gjennomsnittshastighet (m/s)
Formelen 5.2.2 gjelder bare for en vinding som beveger seg 90° gjennom et homogent felt.
Skal en finne øyeblikksverdien (momentanverdien) for den induserte spenningen til en vinding som beveger seg i et magnetisk felt som i figur 5.1.2 må en vite hastigheten i øyeblikket:
5.2.2.A
e øyeblikksverdien (momentanverdien) til den induserte spenningen (V)
v hastigheten til vindingen i det øyeblikk en skal finne den induserte spenningen (m/s)
Figur 5.2.4
Fra kapittel 5.1 vet vi at den magnetiske fluksen øker med økende flukstetthet og areal.
5.1.7
Det vil si at når vindingen er midt mellom nordpol og sydpol omslutter vindingen det største arealet. Dessuten ser vi av figur 5.2.4 at det er flest feltlinjer som krysser vindingens areal i den stilling vindingen er tegnet.
Når vindingen er dreid slik at den ene lederen i vindingen ligger nærmest nordpolen og den andre nærmest sydpolen blir den induserte spenningen maksimal. Hvis vindingen beveges slik at lederene i vindingen er like langt fra fra nordpol som sydpol er lederene i ferd med å skifte polaritet til den induserte spenningen.
Vi ser nå at den magnetiske fluksen er 90° forskjøvet i forhold til den induserte spenningen. Dette er også vist i figur 5.2.5.
Figur 5.2.5
Vindingen i figur 5.2.5 er tegnet i tidsøyeblikket ved 0° når den induserte spenningen er null og den magnetiske fluksen er maksimal.
Vi ser nå at den induserte spenningen ligger 90° etter den magnetiske fluksen når vi tenker oss at sinuskurvene beveger seg mot øyet.
Figur 5.2.6
Vi har nå funnet ut at maksimal indusert spenning får vi når lederene til en vinding ligger nærmest hver sin pol. Vi kan i denne posisjon finne maksimal indusert spenning hvis vi vet hastigheten viklingen roteter med (periferihastigheten), vindingens lengde og flukstettheten. Vi benytter da formel 5.2.2.
5.2.2
Figur 5.2.7
Figur 5.2.7 viser tre stillinger til en roterende vinding i et magnetisk felt. De tre stillingene som kalles vinkelen a er 0°, 30° og 90° når X-aksen (horisontalplanet) settes til 0°.
Formelen for øyeblikksverdien av spenningen er:
5.2.3
Riktigheten til formel 5.2.3 kan vises med følgende eksempel, se også figur 5.2.7:
Figur 5.2.8
Figur 5.2.8 viser tredimensjonalt en vinding som roterer i et magnetfelt. Maksimal spenning for vindingen har vi funnet tidligere i formel
5.2.2
Vi behøver ikke å ta hensyn til Lenz lov når maksimal spenning og maksimal fluks skal finnes. Skal den induserte spenningen finnes for begge lederene i en vinding blir formelen:
I
Vindingen roterer med periferihastigheten. Fra fysikken har vi følgende uttrykk for periferihastigheten:
II
Vinkelfrekvensen w er antall radianer vindingen passerer pr sekund og frekvensen f er antall perioder av en kurve pr sekund. Ved 50 Hz har vi 50 sinuskurver i sekundet eller sagt på en annen måte: vindingen roterer 50 ganger pr sekund. Se kapittel 6.1 vedrørene vinkelfrekvens og frekvens
6.1.7
6.1.8
v periferihastighet (m/s)
r radius (m)
w vinkelhastigheten (s-1)
f Frekvens (Hz)
T tiden for en periode (s)
Setter vi formel II inn i I får vi:
III=I+II
Arealet en hel vinding omslutter er:
IV
Formelen for flukstetthet fra kapittel 5.1 lyder:
V
5.1.7
Setter vi formel IV inn i V får vi uttrykket:
VI
Setter vi flukstettheten opp mot hverandre i formel III og VI får vi:
VII
Rydder vi opp i formelen VII får vi uttrykket for maksimal spenning og maksimal fluks for en vinding:
Indusert spenning i en roterende spole:
5.2.4
e øyeblikksverdien av den induserte spenningen (V)
Emaksvmaksimal indusert spenning i en vinding (V)
Emaks maksimal indusert spenning i en roterende spole (V)
vinkelen vindingen har rotert fra 0 V indusert spenning
maks maksimal magnetisk fluks (Wb)
vinkelhastigheten (s-1)
N antall vindinger i spolen
Eksempel 5.2.2
En spole med 200 vindinger roterer i et magnetfelt med en vinkelhastighet på 314 s-1 Feltstyrken er 300.103 A/m. Spolen har en lengde på 20 cm og en radius på 3 cm.
a) Finn den maksimale induserte spenningen i spolen.
b) Hva blir øyeblikksverdien av den induserte spenningen etter 15° og 60°?
Løsning:
a) Flukstettheten:
(Velger permitiviteten for vakum, da vindingen roterer i luft)
Magnetisk fluks:
Maksimal indusert spenning:
b) Øyeblikksverdi av indusert spenning:
Selvinduksjonsspenning skyldes strømendring og fluksendring i en spole. I kapittel 5.1 under selvinduktans er det oppgitt en formel for selvinduktansen, formel 5.1.10.A:
5.1.10.A
Formelen 5.1.10.A kan settes på følgende måte:
I
Faradays induksjonslov lyder:
II
Vi kan sette likning I inn i likning II:
I+II
Denne spenningen kalles midlere selvinduksjonsspenningen Èmid vist med formel 5.2.5:
5.2.5
E`mid midlere selvinduksjonsspenning (V)
L selvinduktansen (H)
I strømendring (A)
t tiden strømendringen varer (s)
Når to spoler er viklet rundt en magnetisk krets av f.eks dynamoblikk vil det bli indusert en spenning i sekundærviklingen, hvis det samtidig skjer en strømendring i primærviklingen. Energien som blir tilført metallkretsen er lik den energien som blir transportert via feltlinjene i metallkretsen og som videre blir indusert i sekundærviklingen. Det vil alltid oppstå små lekkfelt der spolen er viklet rundt metallkretsen, hvis vi ser bort fra lekkfeltene vil primærspolen ha samme fluks som sekundærspolen.
Figur 5.2.9 viser en tofaset transformator. Primærspolen er alltid den spolen som blir tilført energi og sekundærspolen er alltid den spolen som avgir energi.
Figur 5.2.9
Faradays induksjonslov, formel 5.2.1 gir oss indusert spenning i spole 2 (sekundærsiden):
I
5.2.1
Selvinduktansen i spole 1 (primærsiden) kan vi finne ved hjelp av formel 5.1.10.A:
II
5.1.10.A
Fluksen F i metallkretsen må være lik for begge spolene da feltlinjene passerer begge spolene. Setter vi formel II inn i formel I får vi følgende uttrykk:
I+II
For en krets lik figur 5.2.9 er selvinduktansen og vindingene i de to spolene konstante ledd. Vi kan derfor trekke ut de konstante ledd i likningen over. Dette uttrykk kalles gjensidig selvinduktans M.
III
Vi kan også finne et annet uttrykk for den gjensidige selvinduktansen. Uttrykket er forholdet mellom selvinduktansen til spole 1 og spole 2, formelene er hentet fra
formel 5.1.11:
Av uttrykket over ser vi at vi har fellesverdier over -og under hovedbrøkstrek. Disse felles verdier som kan forkortes bort er permeabiliteten, arealet av kjernen og midlere feltlinjeveg. Uttrykket blir da:
IV
Setter vi formel IV inn i formel III får vi uttrykket:
III+IV
Vi kan rydde opp i uttrykket for å få det på en enklere form:
Formelen over er et uttrykk for gjensidig induktans når det ikke er tap i kretsen. Fordi vi alltid har et lekkfelt i en spole kan det settes inn faktor k for lekkfeltet.
Konstanten k må være mellom 0 og 1.
Løs kopling er når to luftspoler er plassert slik at feltene virker mot hverandre k@0.
Fast kopling er når to spoler er plassert slik at feltene går samme veg som f.eks figur 5.2.9 k<=1.
Den gjensidig induktans uttrykkes da med formelen:
5.2.6
eller etter formel III med faktoren k:
5.2.6.A
M gjensidig selvinduktans (H)
k koplingsfaktoren
L1 selvinduktansen i spole 1 (H)
L2 selvinduktansen i spole 2 (H)
for to spoler med felles
kjerne
for to luftspoler som står
loddrett på hverandre
Fra foregående kapittel har vi formelene:
I
og:
II
Setter vi formel II inn i formel I får vi uttrykket for gjensidig induksjonsspenning på sekundærsiden:
5.2.7
Selvinduksjonsspenningen på primærsiden:
5.2.7.A
E`mid2 midlere gjensidig selvinduksjonsspenning i spole 2 (V)
E`mid1 midlere gjensidig selvinduksjonsspenning i spole 1 (V)
M gjensidig selvinduksjon (H)
I1 strømmen i spole 1
I2 strømmen i spole 2
t1 tiden strømendringen varer i spole 1 (s)
t2 tiden strømendringen varer i spole 2 (s)
Eksempel 5.2.3
a) Finn selvinduktansen i spole 1 og spole 2 når mr=3300.
b) Hva blir gjensidig selvinduksjon for kretsen?
c) Beregn gjensidig induksjonsspenning i spole 2.
Løsning:
a) Selvinduktansen i spole 1:
Selvinduktansen i spole 2:
b) Gjensidig selvinduksjon i kretsen:
c) Gjensidig induksjonsspenning i spole 2:
Når det flyter en vekselstrøm gjennom en spole viklet rundt en kjerne av ferromagnetisk materiale endrer strømmen seg med fluksendringen og med feltstyrken. Dette kommer fram av formelen 5.1.4:
Figur 5.2.10
I punkt t0 blir strømmen til spolen slått på. Mellom t0 og t1 får vi magnetiseringskurven lik figur 5.1.18 for en ferromagnetisk kjerne. Når strømmen beveger seg mellom t1 og t2 i figur 5.2.10 vil det være restmagnetisme i det ferromagnetiske matriale. Dette skyldes ettervirkning pga spinn og rotasjonene i atomkjernen. Denne restmagnetismen kalles remanent magnetisme. Strømmen og feltstyrken får sin nullgjennomgang samtidig mens fluksttetheten ikke har nådd sitt nullnivå.
På grunn av remanensen som oppstår i en ferromagnetisk kjerne får vi en kurve lik
figur 5.2.11, denne kalles hysteresekurve. Hystereskurven, figur 5.2.11 er et resultat av forholdene for feltstyrken i figur 5.1.10. Ved å følge tidsintervallene for begge kurvene ser en sammenhengen mellom kurvene.
Figur 5.2.11
På grunn av denne tregheten i ommagnetiseringen får vi hysteresekurven som danner et areal. Arealet represeneterer hysterestapet. Det er viktig å velge ferromagnetiske matrialer som har en smalest mulig hysteresekurve for å begrense hysteresetapet. Hysteresetapet Ph måles i watt.
Virvelstrømstap er strømmer som går på tvers av fluksretningen inne i det ferromagnetiske matrialet og hindrer feltlinjene å bevege seg gjennom kjernen. Strømmene kalles Fucaults strømmer eller virvelstrømmer.
For å begrense virvelstrømstapene kan en legge lagvis tynne ferromagnetiske plater som er lakket (isolert) på alle sider. Denne lagvise oppbygningen kalles laminering og tykkelsen til platene er vanligvis ikke tykkkere enn 0,5mm. Lengden av platene må være i retning av ønsket feltlinjeveg.
I tillegg til virvelstrømmene er det også viktig at det ferromagnetiske matriale har høyest mulig resistivitet. Ved å tilsette inntil 4 % silisium i det ferromagnetiske stålet øker resistiviteten. Dynamoblikk med 4 % silisium er derfor godt egnet til ferromagnetisk matriale.
Summen av virvelstrømmene er If og det ferromagnetiske stoffet har en resistans R. Virvelstrømstapet blir da:
Pv virvelstrømstap (W)
If summen av alle virvelstrømmene i kjernen (A)
R kjernens resistans (W)
Figur 5.2.13
Jerntapene er summen av hysteresetap og virvelstrømstap i en ferromagnetisk kjerne. Formelen for jerntapet blir da:
5.2.8
Virvelstrømstapet og hysteresetapet omsettes til varme i kjernen. Det er vanlig å oppgi jerntapet og ikke virvelstrømstapet og hysteresetapet da disse er vanskelig å måle.
Ferromagnetisk matriale kan uttrykkes med tapsifferet V for matrialet. Definisjonen for tapsifferet er antall watt pr kilo stål når flukstettheten er B=1T, frekvensen er 50 Hz og platetykkelsen er 0,5 mm.
Tapsifferet er i størrelsesorden 1,0 til 3,6 W/kg ved 1,0T. Tapsifferet er avhengig av silisiusminnholdet i stålet.
Jerntapet blir da etter definisjon av tapsifferet:
5.2.9
PFe jerntap (W)
Ph hysteresetap (W)
Pv virvelstrømstap (W)
V tapstallet for kjernen (W/kg)
B flukstettheten (T)
Spolen blir tilført en elektrisk energi som omdannes til varmeenergi og magnetisk feltenergi. Magnetisk feltenergi er den energien som må til for å danne et magnetisk felt.
5.2.10
Wtilf tilført energi til spolen (J)
Wt varmeenergi fra spolen (J)
WF magnetisk feltenergi (J)
Figur 5.3.13.A
Magnetisk feltenergi er den energien som blir dannet av arealet mellom strømaksen og kurven N.F=f(I).
dette gir oss formelen:
formelen over snudd på formen:
I
For å finne arealet av trekanten fra figur 5.3.13.A får vi formelen:
II
Kombinerer vi formelene I og II får vi:
5.2.10.A
WF magnetisk feltenergi (J)
L selvinduktansen (H)
I strømmen (A)
Eksempel 5.2.4
Tapsifferet til en laminert kjerne med en spole er 1,5 W/kg dynamoblikk ved 1,0 T. Spolen blir påtrykt en vekselspenning med frekvensen 50 Hz. Kjernens vekt er 150 kg og dynamoblikkets platetykkelese er 0,5 mm.
a) Finn jerntapet til kretsen ved en flukstetthet på 1,5 T.
b) Hysteresetapet er 70 % av jerntapet. Hva blir hysteresetapet og virvelstrømstapet i watt?
c) Beregn den magnetiske feltenergien når spolens selvinduktans er 300 mH og strømmen i viklingen er 70 A.
Løsning:
a) Jerntapet:
b) Hysteresetap og virvelstrømstap:
d) Magnetisk feltenergi:
Figur 5.2.14
Når bryteren står i stilling "1" blir spolen tilført energi fra spenningskilden. Spenningen over spolen minker slik neste kurve viser - figur 5.2.12. Spenningen over resistansen øker i takt med strømmen når spenningen over kondensatoren minker.
Strømmen begynner i null fordi det blir indusert en spenning i spolen. Selvinduksjons-spenningen er motsatt rettet av strømmen pga Lenz`lov. Dette ser vi av formelen for selvinduksjon, formel 5.2.5:
Tiden t er den tiden det tar å tilføre energi til spolen. Strømmen vil da øke mens selvinduksjonsspenningen vil avta.
Spolen i figur 5.2.14 har en liten resistans Rs. Denne resistansen skyldes den resistansen vi har i lederen til spolen. Vi ser ofte bort fra resistansen når den er liten i forhold til resistansen R.
Kirchhoffs 2. lov opprettholder balansen for kretsen dvs at påtrykt spenning er lik summen delspenningene over spolen og resistansen. Delspenningene vil variere med tiden for tilføring av energi til kretsen.
5.2.11
Figur 5.2.15
Spenningen over spolen ved inn -og utkopling av spenningskilden
Tidskonstanten:
5.2.10
For å finne øyeblikksverdiene av strøm og spenning ved innkopling av kretsen i figur 5.2. er lik den utledningen for å finne de samme verdiene som for oppladning av en kondensator.
Øyeblikksverdi av strømmen gjennom spolen ved innkopling:
5.2.12
Øyeblikksverdi av spenningen over spolen ved innkopling:
5.2.13
Når bryteren føres over i stilling ²2² opptrer spolen som en svært liten spenningskilde som avgir energi til spolen. dette gir oss spenningsforholdene:
5.2.14
Øyeblikksverdien av strømmen ved utkopling (kortslutning):
5.2.15
Øyeblikksverdien av spenningen over spolen ved utkopling (kortslutning):
5.2.16
Figur 5.2.16
Spenningen over resistansen ur og strømmen i kretsen ic følger samme prosentvise kurve under inn -og utkopling.
Når spenningen over resistansen har nådd 100 % er den lik påtrykt spenning fra spenningskilden. Spenningen over spolen er da null og det er ingen fluksendring i spolen.
Tidskonstanten t er lik verdien av selvinduktansen L dividert på resistansen. Det regnes vanligvis 5t før en spole er helt innkoplet eller utkoplet. Tabell 5.2.1 viser sammen med figur 5.2.16 hvor fort en spole i serie med en resistans endrer energi ved inn -og utkopling.
INNKOPLING UTKOPLING
|
t |
uL (%) |
ur (%) |
iL (%) |
uL (%) |
ur (%) |
iL (%) |
|
t 2t 3t 4t 5t |
36,8 13,5 5,0 1,8 0,7 |
63,2 86,5 95,0 98,2 99,3 |
63,2 86,5 95,0 98,2 99,3 |
-36,8 -13,5 -5,0 -1,8 -0,7 |
36,8 13,5 5,0 1,8 0,7 |
36,8 13,5 5,0 1,8 0,7 |
Eksempel 5.2.5
En spole på 50 mH er seriekoplet med en resistans på 10 W. Kretsen blir tilført en likespenning på 110 V.
a) Hva blir tidskonstanten for RL-kretsen?
b) Finn spenningen over spolen 7,0 ms etter at spenningen har blitt tilkoplet kretsen.
c) Hva blir strømmen gjennom spolen 7,0 ms etter at spenningen har blitt tilkoplet kretsen?
d) Hvor lang tid tar det før spenningen over spolen er 50 V ved innkopling?
Løsning:
a) Tidskonstanten:
b) Spenningen over spolen 7 ms etter innkopling:
c) Maksimal strøm:
Strømmen i kretsen 7 ms etter innkopling:
d) Tiden det tar før UL=50V: