7.0  RESISTANS - SPOLE - KONDENSATOR

I dette kapittelet skal vi undersøke vekselstrøm -og vekselspenningsforhold ved resistans, spole og kondensator samt effekten som oppstår.  For å løse vekselstrømsoppgaver rasjonelt er det fornuftig å bruke komplekse tall alt fra de enkleste oppgavene.

7.1  RESISTANS - SPOLE - KONDENSATOR TILKOPLET VEKSELSTRØM ENKELTVIS

IDEELL RESISTANS TILKOPLET VEKSELSTRØM

Når en motstandstråd blir brettet i to og de to delene av tråden blir viklet ved siden av hverandre, vil magnetfeltene rundt motstandstråden motvirke hverandre.  De kapasitive forhold som vil oppstå mellom lederne er så små at vi kan se bort fra dem.  Dette gir en ideell resistans.

Figur 7.1.1

Figur 7.1.2

Ohms lov for en ideell resistans:

                                                                              7.1.1

            U         spenning   (V)

            I           strøm   (A)

            R         resistans   ( )

Figur 7.1.3

Strøm- og spenningskurver er i fase dvs at nullgjennomgangen er i samme tidspunkt.  Vektordiagrammet viser effektivverdiene til strøm og spenning og det er ikke noen vinkel mellom vektorene.

Det er plassert et øye ved sinuskurven og et øye ved vektordiagrammet.  Den kurven som beveger seg først mot øyet ligger foran den andre.  Det samme gjelder vektordiagrammet.  For en ideell resistans kommer strøm og spenningskurve på likt.

IDEELL SPOLE TILKOPLET VEKSELSTRØM

En luftspole er den spolen som kommer nærmest den ideelle spolen i praksis.  Den har ikke noe jerntap, men koppertap.  Koppertapet kommer fra resistansen i vikler tråden.  Enkelte luftspoler har så lite koppertap at vi kan se bort fra det.

Figur 7.1.4 viser en ideell luftspole.

Figur 7.1.4

Når det flyter en vekselstrøm gjennom en ideell spole dannes det et magnetfelt.  Pga vekselstrømmen blir det generert en selvinduksjonsspenning E.  Øyeblikksverdien til selvinduksjonsspenningen kan settes opp på formelen:

Vekselstrømmen som flyter i spolen er årsaken til selvinduksjonsspenningen.  Lenz lov og Faradays induksjonslov sier at selvinduksjonsspenningen alltid er motsatt rettet av opphavet til induksjonen som i dette tilfellet er strømmen.  Derfor har vi minustegnet i formelen.

Når spolen er ideell er den påtrykte spenningen U alltid like stor, men motsatt rettet i forhold til selvinduksjonsspenningen.

Dette gir oss uttrykket for øyeblikksverdi av spenningen:

            I          

Øyeblikksverdien til strømmen som var opphavet til selviduksjonen:

            II        

Setter vi formel II inn i I får vi:

            I+II     

Før vi løser derivasjonsonsuttrykket kan vi trekke de konstante verdier utenfor derivasjonen.  Etter at uttrykket er derivert:

Slår vi sammen enkeltdeler i uttrykket ovenfor og kaller det induktiv reaktans - X_L får vi følgende uttrykk:

            når      

Vi ser at uttrykket ovenfor representerer en cosinuskurve mens strømmen i formel  II  representerer en sinuskurve.  Effektivverdiene for en cosinuskurve og en sinuskurve vil forholde seg likt.  Derfor får vi formelen for effektivverdiene:

Ohmslov for en ideell spole:

                                                                           7.1.2

Induktiv reaktans i forhold til selvinduktans:

                                                       7.1.3

            U         spenning   (V)

            I           strøm   (A)

            X_L       induktiv reaktans   ( )

                     vinkelfrekvens   (s-1)

            f           frekvens   (Hz)

            L          selvinduktans   (H)

Fra magnetismedelen av boka ser vi i figur 5.2.5 og 5.2.10 at strømmen  i  kommer 90° foran selvinduksjonsspenningen  e, men fordi selvinduksjonsspenningen og den påtrykte spenningen er motsatt rettet dvs 180° ligger den påtrykte spenningen  u  90° foran strømmen.

Figur  7.1.5

Når kurvene i figur 7.1.5 beveger seg mot øyet kommer strømmen 90° etter den påtrykte spenningen.  Selvinduksjonsspenningen kommer 90° etter strømmen eller 180° etter påtrykt spenning.  En må tenke seg kurvene som et foto av strøm og spenningsforholdene og at fotoet beveger seg mot øyet.

Vektordiagrammet i figur 7.1.5 viser også at den påtrykte spenningen kommer 90° før strømmen.

Nullgjennomgangen til strøm- og spenningskurven er 90 forskøvet i forhold til hverandre. 

I en ideell spole ligger spenningen 90 før strømmen

IKKE-IDEELL SPOLE TILKOPLET VEKSELSTRØM

En ikke ideell-spole er en spole med en del ideell resistans og en del ideell spole.  Den ideelle resistansen i en luftspole kommer fra resistansen i den viklede lederen. 

Figur 7.1.6                              spole                                                             spole

Påtrykt spenning er summen av delspenningene.  Sammenheng mellom hovedspenning og delspenningene vist via øyeblikksverdi:

Setter vi inn verdier for delspenningene får vi:

setter vi øyeblikksverdien for strømmen inn i formelen over:

Går vi over til effektivverdiene for resistansen og spolens kurver får vi uttrykket:

(Effektivverdiene for en sinuskurve og en cosinuskure forholder seg likt).

Setter vi inn utrykket for induktiv reaktans X får vi:

Delspenningen u_R over resistansen er i fase med strømmen mens delspenningen over spolen u_L ligger 90° før strømmen.  Den totale påtrykte spenningen må derfor ligge mellom 0° og 90° eller 0 og  p/2.

Figur 7.1.7

Faseforskyvningsvinkelen er vinkelen mellom strøm og spenningskurven.  Tar vi utgangspunkt i strøm og spenningskurvens maksimalpunkt er forskyvningen langs tidsaksen faseforskyvningsvinkelen j.  I vektordiagrammet finner vi samme faseforskyvningsvinkel angitt.  Spenningen er summen av delspenningene over resistansen og spolen.  Strømmen deler seg ikke fordi resistansen i spolen og den induktive reaktansen oppfattes som seriekopling.

Spenningstrekanten til en ikke ideell spole:

Figur 7.1.8

 Spenningen ved phytagoras:

                                                                 7.1.4.A

Spenningen ved kompleks regning:

                                                                     7.1.5.A

(Se bruken av kalkulator ved kompleks regning bakerst i kapittel 7.1 i oppgaveboka)

                                                                          7.1.7.A

                                                                            7.1.8.A

Impedansetrekant til en ikke-ideell spole:

Figur 7.1.9

Impedansen ved phytagoras:

                                                                   7.1.4

Impedansen ved kompleks regning:

                                                                         7.1.5

(Se bruken av kalkulator ved kompleks regning bakerst i kapittel 7.1 i oppgaveboka)

                                                                               7.1.6

                                                                             7.1.7

                                                                           7.1.8

            Z          impedansen til en ikke-ideell spole   ( )

            R         resistansen i en spole   ( )

            X_L       induktiv reaktans   ( )

                     fasevinkelen mellom impedansen og strømmen

                        (eller mellom spenning og strøm)   ( )

            cos     effektfaktor

            U         spenningen til spolen   (V)

            I           strømmen til spolen   (A)

Eksempel  7.1.1

En ikke ideell spole med resistans 2,0 W og induktiv reaktans 10,0 W blir tilkoplet en spenning på 230 V, 50 Hz.

a)         Hva blir spolens impedans og faseforskyvningsvinkel?

b)         Finn effektfaktoren til spolen.

c)         Hva blir den teoretiske spenningen over resistansdelen og reaktansdelen av spolen?

Løsning:

 a)         Spolens impedans og faseforskyvningsvinkel:

b)         Effektfaktoren til spolen:

c)         Spenningen over resistansdelen og reaktansdelen av spolen:

IDEELL KONDENSATOR TILKOPLET VEKSELSPENNING

Kondensatorer kan vanligvis regnes som ideelle.  Hvis en kondensator ikke slipper gjennom likestrøm, men bare vekselstrøm er den ideell. 

I det kondensatoren blir tilkoplet en likespenning vil den bli oppladet.  Når oppladningen har nådd  ca 5t er den oppladet og en ideell kondensator vil sperre for strømmen.  Tilkoples kondensatoren vekselspenning vil kondensatoren hele tiden bli opp- og utladet. 

Figur 7.1.10

Fra likestrømmen kjenner vi formlene:

            I                     2.2.1                  II                   4.1.2

Setter vi formel  II  inn i  I  får vi:

I+II                 

Dersom en liten ladning  DQ  eller den deriverte av ladningen  dQ  forflytter seg i løpet av et lite tidsrom  Dt  eller den deriverte av tiden  dt,  får vi øyeblikksverdiene:

III                   

Øyeblikksverdien til spenningen som var opphavet til strømgjennomgang i kondensatoren:

IV                   

Setter vi formel  IV  inn i  III  får vi:

III+IV             

Før vi løser derivasjonen kan vi trekke de konstante verdier utenfor.  Etter at uttrykket er derivert:

Slår vi sammen enkeltdeler i uttrykket ovenfor og kaller det kapasitiv reaktans - X_C får vi følgende uttrykk:

            V                

eller:

Dette gir formelen for kapasitiv reaktans:

Vi ser at formel  IV  representerer en sinuskurve mens strømmen i formel V  representerer en cosinuskurve.  Effektivverdiene for en cosinuskurve og en sinuskurve vil forholde seg likt.  Derfor får vi formelen for effektivverdiene:

Ohms lov for en ideell kondensator:

                                                                           7.1.9

Kapasitiv reaktans i forhold til selvinduktans:

                                                     7.1.10

            U         spenning   (V)

            I           strøm   (A)

            Xc       kapasitiv reaktans   ( )

                     vinkelfrekvens   (s-1)

            f           frekvens   (Hz)

            C         kapasitansen   (F)

Figur  7.1.11

Nullgjennomgangen til strøm- og spenningskurven er 90 forskøvet i forhold til hverandre. 

I en ideell kondensator ligger strømmen 90 før spenningen.

Vektordiagrammet viser 90 forskyvning mellom effektivverdiene til strøm og spenning.

Spenningen  U_L   og  U_C   blir 180°  forskjøvet fordi vi bruker strømmen som referanse for en spole og spenningen som referanse for en kondensator.

IKKE-IDEELL KONDENSATOR TILKOPLET VEKSELSTRØM

I en ikke ideell kondensator flyter det en svært liten strøm når kondensatoren skal sperre for strømgjennomgang.  Kondensatoren må da ha en  teoretisk resistans med meget høy resistansverdi som er koplet i parallell.

Fordi kondensatoren virker som en parallellkopling vil spenningen over kondensatoren holde seg konstant.  Vi kan da sette opp en strømtrekant for en ikke ideell kondensator.  Den totale strømmen  I  består av ladestrømmen  I_C  og strømmen gjennom resistansen  I_R. (Se figur  7.1.13)

Fordi den resestive strømmen   I_R  er svært liten i forhold til ladestrømmen  I_C  kan vi vanligvis regne alle kondensatorer som ideelle.

Figur  7.1.12

Vektordiagram for en ikke-ideell kondensator:

Figur 7.1.13

Diagrammet er i 1. kvadrant fordi den induktive reaktansen og den kapasitive reaktansen er 180 forskjøvet og fordi en ikke ideell kondensator er en parallellkopling.  I parallellkoplinger er strømmen konstant og plasseres langs den reelle akse, mens det i en seriekopling er spenningen som er konstant og plasseres langs den reelle akse.  Dette er vist i kapittel  7.3.

                                                                      7.1.11

Impedansen ved kompleks regning:

                                                               7.1.12

(Se bruken av kalkulator ved kompleks regning bakerst i kapittel 7.1)

                                                                                           7.1.13

Vinklene til trekanten kan finnes ved formlene:

                                                                                          7.1.14

                                                                                      7.1.15

            Z          impedansen til en ikke-ideell kondensator   ( )

            R         resistansen i en kondensator   ( )

            X_C      kapasitiv reaktans   ( )

                     fasevinkelen mellom den inverse verdien av impedansen og spenningen

                        (eller mellom spenning og strøm)   ( )

            cos     effektfaktor

            U         spenningen  (V)

            I           strømmen   (A)

Eksempel  7.1.2

:

Finn impedansen og faseforskyvningsvinkelen når resistansen i kondensatoren er 5000 og den kapasitive reaktansen til kondensatoren er 5 .

Løsning:

Bruk av kalkulator:

Regn ut impedansen under brøkstreken (nevneren) først slik som på foregående side.  Sett utregnet impedans inn i minnet.  Regn ut impedansen over brøkstreken (telleren) og del denne med den under brøkstreken.  Dette gir total impedans.

Forfatter: