www.elsiden.no

9.1  RESONANS

SERIERESONANS

Figuren nedenfor viser en krets med ideelle komponenter

Figur  9.1.1

Formelen for impedansen til figur 9.1.1 blir:

                                                               9.1.1

Figur  9.1.2  viser et vektordiagram av en ideell serieresonans kurve:

Figur  9.1.2

Vi ser av figur  9.1.2:

 dette gir          

Vi kan også sette opp et annet uttrykk for den ideelle serieresonansen:

Kretsen i figur  9.1.1  er en svingekrets.  Hvis vi regner kretsen som tapsfri dvs ingen demping i kretsen vil den svinge med samme frekvens hele tiden.  Den tapsfrie frekvensen har symbolet  f₀ .  I virkelighet vil vi aldri få en svingekrets som er tapsfri.  Alle kretser vil derfor ha en demping. Dempingen i kretsen vist i figur  9.1.4  er representert med en liten resistans i spolen.

For den tapsfrie kretsen får vi når vi ser bort fra den lille resistansen i spolen:

I formelen over kan vi samle  w₀  på venstre side i likningen.  Vi får da:

Vinkelfrekvensen består av:    

Vi får da uttrykket for den tapsfrie frekvensen f₀.

                                                                9.1.2

For en krets med ideell serieresonas vil faseforskyvningsvinkelen være 0°.  Dette gir oss:

 fordi              

Når serieresonanskurven beveger seg utenfor det ideelle bruker vi formelen  9.1.3 for  å finne impedanskurven og formel  9.1.4  for å finne strømkurven.

Formelen for impedanskurven i figur  9.1.3:

                                                       9.1.3

eller via formelen:

                                                               9.1.3.A

Formelen for strømkurven i figur  9.1.3:

                                                       9.1.4

eller via formelen:

                                                              9.1.4.A

Av formlene  9.1.3  og  9.1.4  får vi kurvene i diagrammet under:

Figur  9.1.3

For en LC - svingekrets ligger det aktuelle arbeidsområdet mellom f₁ og  f₂.  Området kalles også båndbredden.  Når kretsen er utenfor området er den i et uaktuelt område.

Når strømmen er ved grensefrekvensene f₁ og  f₂  er alltid strømmen:

og

Dvs at  I₁  og  I₂  er 70,7 %  av  I₀ .

Ved grenseverdiene I₁  og  I₂  er faseforskyvningsvinkelen 45° ved induktiv last og -45° ved kapasitiv last.

PARALLELLRESONANS

Figuren nedenfor viser en krets med ideelle komponenter

Figur  9.1.4

Formelen for impedansen til figur 9.1.4 blir:

                                                            9.1.5

Figur  9.1.5  viser et vektordiagram av en ideell parallellresonans kurve:

Figur  9.1.5

Vi ser av figur  9.1.5:

                                           dette gir          

Vi kan også sette opp et annet uttrykk for den ideelle parallellresonansen:

Dette gir videre:

Kretsen i figur  9.1.4  er en svingekrets.  Hvis vi regner kretsen som tapsfri dvs ingen demping i kretsen vil den svinge med samme frekvens hele tiden.  Den tapsfrie frekvensen har symbolet  f₀ .  I virkelighet vil vi aldri få en svingekrets som er tapsfri.  Alle kretser vil derfor ha en demping.  Dempingen i kretsen vist i figur  9.1.4  er representert med en liten resistans i spolen.

For den tapsfrie kretsen får vi når vi ser bort fra den lille resistansen i spolen:

I formelen over kan vi samle  w₀  på venstre side i likningen.  Vi får da:

Vinkelfrekvensen består av:   

Vi får da uttrykket for den tapsfrie frekvensen f₀.

                                                                9.1.6

Vi ser at uttrykket for den tapsfrie frekvensen  f₀  er lik for serieresonans og parallellresonans.

For en krets med ideell parallellresonas vil faseforskyvningsvinkelen være 0°.  Dette gir oss:

                               fordi                

Når parallellresonanskurven beveger seg utenfor det ideelle bruker vi formelen  9.1.7 for  å finne impedanskurven og formel  9.1.8  for å finne strømkurven.

Formelen for impedanskurven i figur  9.1.7:

                                                     9.1.7

eller via formelen:

                                                            9.1.7.A

Formelen for strømkurven i figur  9.1.4:

                                                     9.1.8

eller via formelen:

                                                       9.1.8.A

Av formlene  9.1.7  og  9.1.8  får vi kurvene i diagrammet i figur  9.1.6:

Figur  9.1.6

For en LC - svingekrets ligger det aktuelle arbeidsområdet mellom f₁ og  f₂.  Området kalles også båndbredden.  Når kretsen er utenfor området er den i et uaktuelt område.

Når strømmen er ved grensefrekvensene f₁ og  f₂  er alltid strømmen:

og

Dvs at  I₁  og  I₂  er 70,7 %  av  I₀ .  Strømkurven er snudd for en parallellresistans i forhold til en serieresonans, men  I₁  og  I₂  er 70,7 %  av  I₀`s minimumspunkt i figur  9.1.6.

Ved grenseverdiene I₁  og  I₂  er faseforskyvningsvinkelen -45° ved induktiv last og  45° ved kapasitiv last.

Q-VERDI OG BÅNDBREDDE

Q-verdien eller kvalitetsverdien  Q₀  til en spole forteller oss forholdet mellom resistans- og reaktansverdien til spolen.  Ved å ta reaktansverdien til spolen og dividere på resistansverdien får vi Q-verdien.

eller    

                   9.1.9

Båndbredden er avstanden mellom grenseverdiene til frekvensene.  Når vi ikke har noen avstand mellom frekvensene, men er i pkt  I på figuren under har vi høy kvalitetsfaktor eller Q-verdi.  Dette gir formelen:

                                                                               9.1.10

Når båndbredden har avstanden mellom grenseverdiene til frekvensene  f₁  og  f₂   får vi uttrykket:

                                                                           9.1.11

            Q         Q-verdi

            Q₀        Q-verdi ved strømmen I₀

            B         båndbredde   (Hz)

            B₀        båndbredde ved strømmen I₀   (Hz)

Figur  9.1.7

Figur  9.1.7  viser båndbredden    når 

Eksempel  9.1.1

En spole med en reistans på 5 W og en selvinduksjon på 159 mH blir seriekoblet med en ideell variabel kondensator.  Kretsen blir påtrykt en spenning på 230 V, 50 Hz.

a)         Hvilken kapasitans må kondensatoren ha for å få en tapsfri resonans når vi ser bort fra resistansen i spolen?

b)         Hva blir reaktansen til spolen og reaktansen til kondensatoren?

c)         Beregn grensestrømmene I₁ og I₂ når faseforskyvningsvinkelen er  ±45°.

d)         Hva blir Q-verdien og båndbredden B₀?

Løsning:

a)         Kondensatorens kapasitans:

b)         Spolens og kondensatorens reaktans:

c)         Grensestrømmene  I₁ og  I₂:

d)         Q-verdien og båndbredden B₀: